Linear Dynamical Systems - Recursive Model & Bayes Filter

필터 이론이란 잡음 데이터가 존재 할 경우, 이러한 데이터를 근거하여 더 좋은 데이터.

즉, 잡음을 제거하기 위한 이론이라 정의 할 수 있겠다.

 

여기서 우리는 칼만 필터(Kalman Filter)에 초점을 맞추어 보려고 한다.

먼저 칼만 필터를 알기 위해서는 그 기초가 되는 베이즈 필터(Bayes Filter)에 대해 알아야 한다.

 

아, 참고로 여기서 언급하는 필터들은 모두, 재귀(Recursive) 성질을 가지고 있다.

왜 재귀를 따르는가? 아마 프로그래머 관련 직군들은 이를 이해하기 쉬울 것이다.

(프로그램의 계산 비중을 줄이기 위해)

 

 

위의 식은 평균을 계산하는 배치식(batch expression)이다.

만약 이 평균 계산 식에서, 새로운 k+1번째의 데이터가 들어올 경우, 평균을 처음부터 다시 계산해야하는

계산의 복잡성이 존재한다.

 

이러한 상황을 방지하기 위해, 재귀식을 사용한다고 이해하면 될 것이다.

예시를 하나 보자.

 

k-1 개의 데이터를 가진 평균 식은 위와 같다.

 

또한 처음 이 식에서 양변에 k를 곱하고 k-1로 나누어 보자.

 

 

 

이제 여기서 xk를 따로 분리하고 양변에 k/k-1 로 나누어 보자.

 

최종적으로 평균을 재귀식으로 구하는 방식에 도달했다.

새로운 평균을 도출 하는데 있어서, 기존의 배치식보다 재귀식이 계산의 복잡성을 줄인 것이다.

 

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베이즈 필터란 무엇인가?

간단히 말해, 베이즈 정리(Bayes Theorem)를 통한 예측이라 볼 수 있겠다.

 

(너무 유명한 베이즈 정리 공식)

 

베이즈 정리를 다시 한번 언급하면, 확률 변수 A와 B의 사전확률(prior)과 사후 확률(posterior)의 관계를 나타낸다.

좌변의 식의 경우, B값이 주어진 상황의 A의 사후 확률이며, P(B|A)의 경우는 A가 주어졌을 때의 조건부 확률

P(A)는 A의 사전확률(B값이 주어지지 않았을 때의 경우), P(B)는 B의 사전확률이며 정규화 상수의 역할을 한다.

 

위의 식이 베이즈 필터라 볼 수 있겠다.

x의 경우 상태(state), z의 경우 관측데이터(observation data), u의 경우 제어데이터(control data)이다.

다시 정리해보면, 베이즈 필터는 관측데이터와 제어데이터를 가지고 베이즈 정리를 이용하여 상태 데이터 x를
확률적으로 추정하는 것이라 볼 수 있겠다.

 

그렇다면 데이터가 2가지가 있으니 예측을 두 번이나 할 수 있을 것이다.

제어 데이터를 가지고 예측하는 것과, 센서값으로 들어오는 예측과 같은 관측 데이터를 사용 하는 것이다.

 

Measurement Model과 Physics Model 두 가지가 존재할 것이며, 베이즈 필터를 사용하기 위해서는

이 두 모델을 설계해야 한다.

 

가장 많이 쓰이는 예시 중 하나가 차량 측위라 볼 수 있다.

물리 모델의 경우, 자동차 속도나 부가적인 제어 값들이 존재 할 것이며, 측정 모델은 외부로부터

거리와 각도가 존재 할 것이다.